思索の日々、音との生活。 4次元サイコロほか。

4次元サイコロほか。

普段、我々が使用するサイコロは1～6の目を持つ立方体である。
これを3次元サイコロとする。
おなじみ3次元サイコロの展開図を以下に示す。

立方体を3次元以外のものに拡張したものを超立方体というそうだ。3次元以外の超立方体でサイコロを考えてみよう。

Wikipediaによれば、超立方体の特徴は以下のようになる。

n次元超立方体の
・頂点の数：2ⁿ
・辺の数：n・2^n-1
・面の数：_nC₂・2^n-2
・胞（立方体）の数：_nC₃・2^n-3
・k次元胞の数：_nC_k・2^n-k

1辺の長さがLの場合
・体積：Lⁿ
・表面積：2nL^n-1
・対角線の長さ：L√n

また、3次元サイコロを分析すると以下の特徴がある。

・目は面に対応する
・目の数をnとして、ある目xは(n+1)-xの目以外の目に接する

こうした特性を鑑み、3次元以外のサイコロを考えてみた。

◇4次元サイコロ
4次元サイコロは以下のようになる。

4次元超立方体の
・頂点の数：16
・辺の数：32
・面の数：24
・胞（立方体）の数：8

1辺の長さがLの場合
・体積：L⁴
・表面積：8L³
・対角線の長さ：2L

4次元超立方体の体積・表面積・対角線の長さってどこを測るのかよくわからんが、こんな感じか。
体積→普通イメージする3次元の量でなく4次元の量。たとえば辺の長さLの単位がmならこの体積の単位はm⁴のはず。
表面積→構成する立方体の体積の総和。
対角線の長さ→わからん。その物体内で取りうる最も長い線分の長さ、ということか。もはやイメージ不能だ。
サイコロとしての特徴は以下の通り

・目は胞（立方体）に対応する。上記の通りその数は8
・ある目xは9-xの目以外の目に接する

こうして考えられる4次元サイコロだが、4次元のものを2次元で描くのは私の技量を超えるので、その展開図（3次元になる）の俯瞰図を示す。

なお、下図のように方向を名付けると、上図における各々の目は以下のように接することとなる。

目	上	下	東	西	南	北
1	3	6	5	4	2	7
2	3	6	5	4	8	1
3	8	1	5	4	2	7
4	3	6	1	8	2	7
5	3	6	8	1	2	7
6	1	8	5	4	2	7
7	3	6	5	4	1	8
8	6	3	4	5	7	2

同様に考えれば5次元以上のサイコロも想定できるが、図示するのも大変なので省略。

◇2次元サイコロ
2次元サイコロは以下のようになる

2次元超立方体の
・頂点の数：4
・辺の数：4
・面の数：1

1辺の長さがLの場合
・体積：L²
・表面積：4L
・対角線の長さ：L√2

ようは正方形ですな。
体積→面積、表面積→構成する辺の長さの総和、と考えるべし。

サイコロとしての特徴は以下の通り

・目は辺に対応する。上記の通りその数は4
・ある目xは5-xの目以外の目に接する

以下が2次元サイコロの例。

なお、3次元空間中で使用する場合は、ちょっと工夫が必要。

◇1次元サイコロ
1次元サイコロは以下のようになる

1次元超立方体の
・頂点の数：2
・辺の数：1

1辺の長さがLの場合
・体積：L
・表面積：2
・対角線の長さ：L

物体としては長さLの線分・・・なのかな。
うん？体積→長さ、として「表面積2」ってなんだ。
この場合、長さの1次元下の量だから、たとえばLの単位がmとしたらm⁰になって、もうなにがなにやら。
いや、0次元=点の量なんだから、この場合構成する頂点の数になるわけか。うーむ。
対角線の長さLは当然。

サイコロとしての特徴は以下の通り

・目は頂点に対応する。上記の通りその数は2
・ある目xは3-xの目以外の目に接する（そんな目はない）

以下が1次元サイコロの例。

これも、3次元空間中で使用する場合は、ちょっと工夫が必要。
たとえば、こんな風に作る。

いや、コイン使えよって話ですが。

◇0次元サイコロ
一応当てはめてみる。

0次元超立方体の
・頂点の数：1

1辺の長さがLの場合
・体積：1
・表面積：0
・対角線の長さ：0

点です。0次元なのでそれしかありえない。
体積＝点の量なので、頂点と一致。
表面積は-1次元を想定しないといけないので、イメージ不能。
対角線の長さ0は納得。

サイコロとしての特徴は以下の通り

・目は何に対応するか不明。
・ある目xは2-xの目以外の目に接する（そんな目はない）

目は-1次元のものに対応するわけだが、想定不能。
まあ点なので、目は1つと考えよう（てきとー）。
以下が0次元サイコロの例。